만남과 이음

만남(meet)과 이음(join)은 순서집합의 원소가 가질 수 있는 성질이다.

정의

이항에 대한 정의

원순서 집합 \(\langle P,\lesssim\rangle\)와 \(a, b \in P\)가 주어졌을 때, 다음의 두 성질을 만족하는 \(m \in P\)를 \(a\)와 \(b\)의 만남이라고 하고 \(a \wedge b\)로 나타낸다.

1. \(m \lesssim a\), \(m \lesssim b\)
2. \(\forall x \in P, \ x \lesssim a \to x \lesssim b \to x \lesssim m\)

쌍대적으로, 다음의 두 성질을 만족하는 \(w \in P\)를 \(a\)와 \(b\)의 이음이라고 하고, \(a \vee b\)로 나타낸다.

1. \(a \lesssim w\), \(b \lesssim w\)
2. \(\forall x \in P, \ a \lesssim x \to b \lesssim x \to w \lesssim x\)

집합에 대한 정의

원순서 집합 \(\langle P,\lesssim\rangle\)와 그 부분집합 \(S\)가 주어졌을 때, 다음의 두 성질을 만족하는 \(m \in P\)를 \(S\)의 만남이라고 하고 \(\bigwedge S\)로 나타낸다.

1. \(\forall a \in S, \ m \lesssim a\)
2. \(\forall x \in P, \ (\forall a \in S, \ x \lesssim a) \to x \lesssim m\)

쌍대적으로, 다음의 두 성질을 만족하는 \(w \in P\)를 \(S\)의 이음이라고 하고 \(\bigvee S\)로 나타낸다.

1. \(\forall a \in S, \ a \leq w\)
2. \(\forall x \in P, \ (\forall a \in S, \ a \lesssim x) \to w \lesssim x\)

집합에 대한 만남과 이음은 각각 최대하계(greatest lower bound), 최소상계(least upper bound)와 같은 개념이다.

유일성

부분 순서 집합에서 만남과 이음은 각각 존재한다면 유일하다. 그러나 원순서 집합 \(\langle P, \lesssim \rangle\)에서 만남과 이음은 일반적으로 유일하지 않다. 대신 원순서에서 유도되는 동치 관계 \((\sim) \triangleq (\lesssim) \cap (\gtrsim)\)에 대해 고려할 경우 유일하다. 즉 다음이 성립한다.

1. \(m_1, m_2 \in P\)가 \(S \subseteq P\)의 만남인 경우, \(m_1 \sim m_2\)
2. \(w_1, w_2 \in P\)가 \(S \subseteq P\)의 이음인 경우, \(w_1 \sim w_2\)

정의 사이의 관계

최대 원소와 최소 원소, 그리고 이항에 대한 만남과 이음은 모두 집합에 대한 만남과 이음을 이용해 정의될 수 있다. 원순서 집합 \(\langle P, \lesssim \rangle\)에서 다음¹이 성립한다. \[ a \wedge b = \bigwedge \{a,b\} \] \[ a \vee b = \bigvee \{a,b\} \] \[ \top = \bigwedge \emptyset = \bigvee P \] \[ \bot = \bigvee \emptyset = \bigwedge P \]

격자

만남과 이음의 존재성이 보장되는 부분 순서 집합을 격자라고 한다.