격자

격자(lattice)는 만남과 이음을 가지는 순서 구조이다.

격자

부분 순서 집합 \(\langle P, \leq\rangle\)에 대해 다음을 정의한다.

1. \(P\)의 임의의 두 원소 \(a,b\in P\)의 만남 \(a \wedge b\)가 존재하는 경우 \(\langle P, \leq\rangle\)를 만남 반격자(meet semilattice)라고 한다.
2. \(P\)의 임의의 두 원소 \(a,b\in P\)의 이음 \(a \vee b\)가 존재하는 경우 \(\langle P, \leq\rangle\)를 이음 반격자(join semilattice)라고 한다.
3. \(P\)의 임의의 두 원소 \(a,b\in P\)의 만남 \(a \wedge b\)와 이음 \(a \vee b\)가 모두 존재하는 경우 \(\langle P, \leq\rangle\)를 격자(lattice)라고 한다.

완비 격자

부분 순서 집합 \(\langle P, \leq\rangle\)의 임의의 부분집합 \(S \subseteq P\)에 대해 만남 \(\bigwedge P\)와 이음\(\bigvee P\)가 존재한다면 \(\langle P, \leq\rangle\)를 완비 격자(complete lattice)라고 부른다.

완비 반격자, 즉 임의의 부분집합에 대해 만남만이, 혹은 이음만이 존재하는 부분 순서 집합을 가리키는 개념은 별도로 정의하지 않는데, 이는 그러한 개념이 곧 완비 격자와 동치이기 때문이다.